引言
內插是當前數字示波器中的一項重要功能。DSO的主要用途是分析和查看模擬波形。為此，DSO以某種有限采樣率對波形采樣，相對于時間生成電壓矢量。由于這個矢量代表著一個樣點集(而不是實際平滑的模擬波形)，因此通常需要在實際采集點之間生成預測的樣點，來修改采集的波形。在實際波形樣點之間生成樣點的過程稱為內插。在正常操作時，內插可以得到一個采樣率較高的、更接近被分析模擬波形近似值的波形。
本文將討論兩種最流行的內插方法，解釋其基本工作方式。然后，本文將介紹怎樣保證良好的內插結果及怎樣確定什么時候適合采用內插。本文使用部分簡單的試驗，比較了三種高端示波器的內插性能。最后，本文比較了內插操作的差異。
線性內插
最簡單的內插形式是線性內插。線性內插假設一條直線把每個波形樣點連接起來，這是一種非常簡單而又自然的方法，提供的結果有限。
注：來自Merriam-Webster字典2003年的定義
線性內插可以視為使用三角形窗口過采樣的波形的卷積。
通過生成高1.0、寬為采樣周期兩倍的三角形，構成三角形窗口。
隨著窗口滑到右面，通過把窗口值之和乘以窗口和樣點相交時的實際樣點值，得到內插點。內插的樣點放在窗口頂點時間上。
窗口寬度定義了其存儲器，即實際樣點影響內插樣點的時間。由于窗口寬度是采樣周期的兩倍，只有落入內插樣點時間內的樣點才影響著內插值。
通過使用過采樣排列的數字濾波器，也可以實現這種卷積。圖中所示的排列是一個5點過采樣器。在這一排列中，每個新樣點都生成5個新樣點。濾波器輸出僅與新輸入和最后一個輸入有關。濾波系數通過對窗口采樣生成。
通過考察這些圖，可以很容易看出建立濾波系數的模式。
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SinX/X內插
流行的、比較復雜的內插形式稱為SinX/X (也稱為Sync或簡稱為SinX內插)。SinX內插的名字來自于卷積使用的窗口函數眾所周知的形狀。與線性內插的窄尖三角不同，SinX內插窗口在理論上是一個從未結束的減幅正弦波。
[圖示內容：]
point 0：點0
point 1：點1
point 2：點2
point 3：點3
point 4：點4
這個窗口形狀源自一個重要的假設，即在原始波形采樣中遵循內奎斯特標準。換句話說，它假設采樣的模擬波形中的所有頻率成分都位于波形采樣的采樣率一半以下，這種假設是合理的。在進行這一假設，并對這一假設的頻譜進行反向傅立葉變換時，可以得到這個眾所周知的函數。
一般來說，這個假設是可以做出的最好的假設，但我們將看到，這并總是正確的假設。結果，SinX內插實際上是最有效的內插方法。通過考察內奎斯特標準的意義，可以了解這一點。內奎斯特聲稱，在信號的所有頻率成分低于采樣率的一半時，可以從采樣的點中全面確定連續的模擬信號。SinX內插是獲得連續模擬信號的技術。
SinX內插受到某些數學技術和實用技術的影響，使得這種方法不可能完美無缺。首先，Sync函數無窮大，必須在截短誤差低到可以接受的水平的點上截短這個函數。這是因為真正帶寬受限的信號必須有無窮大的長度，意味著必須一直知道所有樣點。事實證明，離內插點越來越遠的點的影響會迅速下降，截短提供了高度可接受的結果。另一個缺點是在被采樣的系統中，由于DSO結構(如通道復用)產生的噪聲和假信號會混合到信號中，導致超出內奎斯特極限的噪聲和失真。其導致的誤差可以保持在可以接受的較低水平上。
什么時候適合使用內插
在純數學運算中，這兩種內插方法都是無效的。例如，線性內插要求使用直線把波形樣點聯結起來，僅僅帶寬限制一項，就使這在技術上是不可能的。如前所述，SinX內插只在滿足內奎斯特標準時才有效，不僅如此，波形還需要無限長。
可以說，內插在很大程度上是有效的。如果您不能適應這種概念，那么應考慮數字示波器的用途是用來查看、分析、測量及判斷模擬信號。內插的有效性本身與模擬波形只能使用不理想數字表示的概念有關。我們知道，根據帶寬、采樣率、信號保真度等指標，我們可以在數字示波器中對模擬波形作出較好的假設，因此我們也可以說，內插是整體上一種很好的方法。
在使用內插時，最重要的兩件事是：
1.設置DSO進行采集，以便內插所需的假設盡可能有效。
2.同環境下內插方法的有效程度。
可以毫不夸張地說，在正確有效地使用DSO時，必需了解這兩件事，這是不能避免的。
設置DSO，加強SinX內插的有效性
在采樣率與帶寬之比提高時，所有內插方法的有效性會提高。內插會隨著采樣率的提高而改善。它適用于某些經驗法則。只有在采樣率與最高頻率成分之比不低于10:1時，線性內插才能很好地運行。只有這一比率大于2:1 - 3:1時，SinX內插才能很好地運行，SinX內插在4:1時通常會接近于理想狀態。
以力科WaveMaster 8620A為例，SinX內插在20 GS/s的最高通道采樣率時幾乎可以達到理想狀態。這是因為示波器的帶寬為6 GHz，其響應急劇下跌，導致信號在7 GHz以上時大大衰減。由于20 GS/s時的內奎斯特速率是10 GHz，因此它滿足了內奎斯特標準，SinX內插高度有效。事實上，示波器的帶寬限制保證了內插在20 GS/s時一直有效。
在較低的采樣率上，如果想使用SinX內插，那么必須確定輸入信號中的最高頻率。另一個實用的經驗法則是帶寬*上升時間乘數。在力科WaveMaster DSO上，帶寬和上升時間的關系是：
帶寬×上升時間=0.45
這意味著上升時間在90 ps以上的信號的帶寬要求要低于5 GHz。盡管帶寬點并不是最高頻率成分時的點，而是成分下跌到DC成分以下3 dB時的點，但它可以實用地估計頻率成分，因此可以估計出內插有效運行要求的采樣率。例如，上升時間為150 ps的信號的帶寬為3 GHz，使SinX內插在10 GS/s時的運行狀況非常好。
確定SinX內插的有效性
最好的一條消息是可以確定SinX內插的有效性。不僅可以以定性方式確定其有效性，還可以以定量方式確定其有效性。不僅如此，還可以在最小的傅立葉變換位及沒有紙筆或計算機的情況下確定其有效性。您所需的只是示波器和一個重復信號。
示波器非常簡便，只有在特定示波器上才能進行分析，這是因為許多不同廠商制造的示波器之間存在許多特殊差異，測試只能提供示波器專用結果。
重復波形可能不太容易，對實時DSO，通常使用重復波形分析波形隨時間變化的特點，但通常可以找到某種途徑，例如，如果您只有一個隨機數據碼型，那么試著排列輸入信號，以便在某個碼型上重復觸發采集，或試著使系統生成一個重復的恒定碼型。為考察內插的有效性，只需要重復的波形。
簡單地設置示波器，重復觸發波形，建立波形的余輝地圖，保證波形是重復的。在這一步時一定要關閉內插。如果波形是重復的，它將建立一張很緊的余輝地圖。然后，在確定了重復性之后，您需要高效的采樣率，作為參考給出波形。大多數高端DSO提供了一種等效時間模式(力科示波器上稱為RIS)，可以使用這種模式采集參考曲線。力科DSO還提供了一種處理函數，稱為余輝曲線中間值，它從余輝地圖中提取中間波形。保存參考波形，以備以后比較。如果不能確定怎樣保存參考波形，可以打印余輝視圖，以進行比較。
然后啟動SinX內插，重復觸發波形，建立一個新的余輝地圖。測試標準非常簡單，新余輝地圖與參考波形(或原來的余輝地圖)匹配的程度決定著內插方法的有效程度。
下面是在WaveMaster 8620A上應用這一測試的實例：
這張圖片說明了在WaveMaster示波器中怎樣測試SinX內插的有效性。在這種情況下，它把重復的信號應用到通道2，啟動余輝，使SinX內插失效。F1定義為通道2的余輝曲線中間值。隨著時間推移，余輝曲線被填充，Ptrace中間值函數生成輸入模擬波形的清楚圖片。F1保存到存儲器M1中，成為參考曲線。
M1留在屏幕上作為參考，F1關閉，通道2上啟動SinX內插。示波器重復觸發，生成重復采集的波形及內插樣點的新余輝曲線。由于新余輝地圖在本質上是參考源的確切復現(幾乎看不到，位于余輝曲線的中心)，測試結果表明，在這些情況下，適合使用SinX內插。同時，由于應用的邊沿非常快，可以得出結論，在以20 GS/s最大采樣率運行時，WaveMaster 8620A將一直提供適當的SinX內插，而不管應用的輸入信號是什么。
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為什么要做這種簡單的測試工作？
如果認真考察一下在DSO重復觸發重復信號時采集的樣點，您將看到采樣相位變化。采樣相位是實際采樣點距觸發位置的變化。
某個采集的采樣相位取決于觸發時間與內部示波器采樣時鐘之間的關系。由于輸入波形和示波器采樣時鐘不相關，除非常在特殊情況下，否則采樣相位實際上是隨機的。如果想繪制從觸發到第一個樣點之間的時間的直方圖，您會發現它在0個采樣周期與1個采樣周期之間構成了均勻分布。
由于采樣周期是隨機的，因此重復觸發余輝中的波形將導致示波器在測量期間對波形中所有可能的位置采樣。只要填充余輝曲線的點是實際樣點，那么示波器將生成實際模擬波形隨時間變化的圖片。我們以此為參考。
對每次采集提供的樣點，示波器把內插的點放在實際模擬波形上的能力決定著內插的有效性。換句話說，在任何給定的采集上，內插的點應落在實際模擬波形上，而不管采樣相位如何。
這是使用MathCAD電子表格的應用的測試圖片。連續波形的線性度與特定設備有關，上升沿跳變時間為100 ps，采樣率為10 GS/s。它以10個不同的采樣相位采樣連續波形，通過SinX內插把連續波形擴大10倍。重疊的曲線顯示了預計的劣化。通過使用此類技術，可以以數學方式確定內插的效果。此外，可以確定這一環境中的測量效應。例如，通過繪制50%交叉時間的直方圖，可以以量化方式確定抖動劣化。
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部分簡單的試驗
我們使用三種競爭的DSO進行簡單的試驗，其分別是力科Wavemaster 8620A、泰克6604和安捷倫54855A。這三種示波器的帶寬指標都是6 GHz，最大采樣率是20 GS/s。我們使用六種不同的信號和采樣率組合，說明SinX內插算法的性能。
試驗：
以20 GS/s采樣率應用31 ps脈沖
力科WaveMaster 8620A，使用SinX內插 泰克6604，使用SinX內插
泰克6604，使用線性內插 安捷倫54855A，使用SinX內插
備注：
所有示波器在使用SinX內插時都展現很緊的余輝曲線，與沒有內插時生成的余輝曲線匹配。由于31 ps邊沿提供了示波器看到的任何邊沿中最大的頻率成分，這一結果表明對所有示波器，SinX內插在20 GS/s的最大采樣率時最有效，而不管應用的信號如何。
安捷倫示波器在下沖中存在一定的信號保真度問題，與是否啟動Sinx內插無關。
圖中顯示了泰克示波器的線性內插，展現了部分劣化。泰克示波器默認采用SinX內插，高速信號不應使用線性內插。
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試驗：
以10 GS/s采樣率應用31 ps脈沖
力科WaveMaster 8620A，使用SinX內插 泰克6604，使用SinX內插
安捷倫54855A，關閉內插 安捷倫54855A，使用SinX內插
備注：
由于邊沿的頻率成分超過5 GHz的內奎斯特速率，力科和泰克示波器在SinX內插中展現出預計的劣化。
應該指出的是，在力科示波器上，在默認情況下會使SinX內插失效，因此用戶不得不明確啟動SinX，才能獲得這個結果。在泰克示波器上，這個行為是默認的行為。在泰克示波器上，避免這一行為的唯一途徑是在顯示設置中選擇"intensified samples"。
安捷倫示波器顯示了令人混淆的結果。首先，10 GS響應與前面顯示的20 GS響應完全不同。其次，內插SinX的響應顯示了另一個完全不同的響應。在內插方面，令人驚奇的是，安捷倫示波器在啟動SinX內插時可以生成很緊的余輝地圖，而不管邊沿是否包含超過5 GHz內奎斯特速率的頻率成分。
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試驗：
以10 GS/s采樣率應用3 GHz正弦曲線
力科WaveMaster 8620A，使用SinX內插 泰克6604，使用SinX內插
安捷倫54855A，關閉內插 安捷倫54855A，使用SinX內插
備注：
力科和泰克示波器沒有展現預計的劣化，因為3 GHz正弦曲線遠遠低于5 GHz的內奎斯特速率。盡管泰克示波器在余輝曲線中顯示了多條曲線，這被視為由于觸發性能差而導致的，而不是內插導致的。
安捷倫示波器演示了完全不正確的操作，演示了錯誤應用內插。3 GHz波形大大衰減，應視為錯誤結果。解決方案是避免SinX內插，或一直以20 GS/s運行這一示波器。
試驗：
以10 GS/s采樣率應用4 GHz正弦曲線
力科WaveMaster 8620A，使用SinX內插 泰克6604，使用SinX內插
安捷倫54855A，關閉內插 安捷倫54855A，使用SinX內插
備注：
力科和泰克示波器展現出預計的可預測的劣化，因為4 GHz正弦曲線接近5 GHz的內奎斯特速率。在這個頻率上，泰克示波器很難生成穩定的觸發。
安捷倫示波器演示了SinX算法完全失敗。內插完全破壞了4 GHz波形。解決方案是避免SinX內插，或一直以20 GS/s運行這一示波器。
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試驗：
以10 GS/s采樣率應用6 GHz正弦曲線
力科WaveMaster 8620A，使用SinX內插 泰克6604，使用SinX內插
備注：
這一試驗不符合邏輯，因為6 GHz超過5 GHz的內奎斯特速率，但我們使用這一試驗說明在SinX內插中止時會發生的情況。
只有力科和安捷倫示波器能夠觸發這一波形，但有一定難度，泰克示波器會自動觸發。
力科和泰克示波器在算法中展現了可預測的分類結果。安捷倫示波器只能得到一條直線。這不是預計的行為。這是一種荒謬的情況，不論如何都應避免這種情況。
安捷倫54855A，使用SinX內插
試驗：
20 GS/s時的6 GHz正弦曲線
力科WaveMaster 8620A，使用SinX內插 泰克6604，使用SinX內插
備注：
只有力科和安捷倫示波器能夠觸發這一波形，但有一定難度，泰克示波器會自動觸發。
由于高采樣率，力科和安捷倫示波器展現了預計的完美SinX內插性能。泰克示波器在結果中顯示了部分幅度調制，但這沒有被視為內插結果，而是通道復用性能。如果沒有生成穩定觸發，很難確定這一劣化的來源。
安捷倫54855A，使用SinX內插
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高端DSO中的內插實現方案差異
我們設計了上一節中應用的試驗，演示了內插有效性與信號頻率成分和示波器采樣率相關，但負面效應進一步演示了內插算法實現方案中的重要差異。
示波器之間的其它重要差異是內插規則。
所有力科DSO都提供了SinX內插模式。在力科全系列X-Stream DSO上，可以通過通道設置菜單控制內插，每條通道支持不同的內插選擇。在以前的力科示波器型號上，則通過演算曲線提供SinX內插。
WaveMaster在通道設置菜單中提供了兩種內插選擇：Linear或SinX。這種描述的用詞實際上是不恰當的，因為選擇線性內插實際上是沒有內插。選擇SinX內插會導致示波器在采集的每個實際樣點之間生成9個額外的點，從而使采樣率提高10倍。在默認狀態下會選擇線性(或無)內插。力科的策略是在不知道輸入信號時，在默認狀態下應關閉內插，示波器應默認只使用采集的波形點。
顯示畫面可以設置成只顯示點或直線。在選擇點時，將只顯示波形點，包括任何內插的點。在選擇直線時，會在每個波形點之間畫一條直線，僅包括顯示畫面上內插的點。
下表詳細介紹了在WaveMaster上怎樣應用內插及怎樣顯示波形的規則。
安捷倫和泰克的內插功能明顯不同。
泰克示波器提供了兩種波形內插選項：Linear和SinX，但與力科實現方案不同，線性內插會實際內插額外的點。在默認情況下會啟動SinX內插。在波形生成中是否實際使用內插取決于時基設置和請求的點數。基本上，泰克把采集時間周期除以采樣周期，如果這個數值小于請求的點數，那么它會內插，生成請求的數量。不管波形中是否內插點，泰克示波器似乎都在內部測量中使用SinX內插。泰克提供三種顯示樣式：點、矢量(直線)和放大的樣點。在波形生成中，唯一使內插失效的方式是使用放大樣點顯示模式。
安捷倫允許關閉或打開SinX內插，允許在顯示模式中使用點或直線。與泰克一樣，安捷倫的判斷基于是否內插時基設置，在低于500 ps/div的時間/格設置時內插最多16個額外的點，在高于50 ns/div時不內插額外的點。如果顯示樣式選擇直線，那么將在各點之間劃直線，甚至包括內插的點。這與力科實現方案類似，但這些直線也出現在余輝曲線中，力科從不會把直線放在余輝曲線中。
下表比較了示波器的行為：
現在，讀者應該很想知道不同操作的原因。我猜想部分原因可能是示波器之間的硬件限制。此外，由于內插對處理不敏感，因此有人試圖在大的波形中降低內插令更新速率下降的影響，這進一步提高了參與競爭的示波器的復雜程度。
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注1 部分專用測量采用線性內插之外的內插技術
在這方面，力科WaveMaster之所以能夠實現簡單操作，是因為其X-Stream™架構是為異常高效地處理大量的數據設計的。WaveMaster有效使用2.53 GHz工作頻率的Pentium 4處理器，這是示波器中使用的最強大的處理引擎。
功能差異的另一個原因源自力科和其它示波器廠商的基本理念差異。安捷倫和泰克主要根據time/div設置改變內插行為。在采集時間周期變大時，這兩種競爭的示波器都抵制內插。換句話說，在采樣時間周期變大時，內插改善的采樣率會下降。由于較大的time/div設置一般會降低用戶獲得的波形特點信息，因此除非使用放大，否則這一行為傳達的基本信息是：除非要查看精細的特性，否則波形采集中不需要更高的分辨率和精度。力科嚴肅地看待這類儀器行為。我們認為，波形分析中的測量結果不應依賴于目前在屏幕上看到的東西。
這里，time/div設置成2.5 ns/div，點數設置成500。泰克示波器確定不需要使用內插。但如果放大波形，它會在很大程度上內插放大曲線。
顯然，泰克示波器對內部測量采用SinX內插，而不管使用的示波器設置是什么。
安捷倫示波器，20 GS/s、100 ps/div、啟動SinX內插。正弦波看上去很好，測量精度很高。
時基設置成200 ns/div，以采集大量的樣點。由于采集時間較長，屏幕上的正弦波視圖是模糊的。在這種設置下，測量中顯示了?，表示示波器不能進行正確測量。只有設置縮放演算曲線顯示了問題來源：示波器已經停止內插。示波器確定在較長的時間采集中不需要內插。
小結
在使用DSO時，波形點內插是一種重要實用的算法。可以采用兩種內插算法，即SinX內插和實用程度較低的線性內插。
在采樣率是最高頻率信號成分的10倍時，線性內插的效果非常好。在采樣率至少是最高頻率成分的三倍時，SinX內插的效果非常好。
有一種簡單的方法，確定采用的內插策略的有效性。在不同示波器廠商之間，示波器的內插性能差異很大。在各種示波器運行條件下，示波器在什么時候執行內插及內插效果有著很大的差異。
力科WaveMaster示波器提供了最簡單、最一致的內插性能，SinX內插使采樣率有效改善了10倍。
力科WaveMaster DSO體現了示波器用戶應明確指定SinX內插的原則，在默認狀態下，SinX內插是關閉的，在指定SinX內插時，示波器會在實際樣點之間一直內插9個額外的樣點，而不管其它示波器設置如何，如time/div。
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