【導讀】在封裝開發中，如何正確使用數據表的熱特性參數以做出設計決策經常存在一定的誤區。之前我們討論了穩態數據和瞬態數據的解讀與多輸入瞬態模型，今天我們將繼續分析各種模型下的瞬態響應。
多結器件和瞬態響應
上一部分中提到了多輸入瞬態模型。正如熱系統的穩態描述一樣，也可以構建多結器件的瞬態描述。如果遵循矩陣方法，唯一區別是矩陣的每個元素都是時間的函數。對于器件中的每個熱源，都會有一條“自發熱”瞬態響應曲線；對于系統中的每個其他關注點，都會存在一條“相互作用”瞬態響應曲線。
在同樣的限制性假設的約束下，線性疊加和互易原理仍然適用。也就是說，系統中任何一點的時變響應都可以被視為其對每個獨立熱源的響應的線性疊加，就好像每個熱源都是單獨供電的，并且獨立于其他熱源。此外，互易定理的不太直觀的真實性適用于時域：也就是，網絡中點“A”處的（恒定）熱量輸入在點“B”處引起的瞬態響應，與點“B”處施加的相同量熱輸入在點“A”處引起的瞬態響應完全相同。因此，在矩陣描述中，關于主對角線的對稱性仍將存在。互易定理的最大影響也許體現在實驗上：實際上，只需要測量所有可能相互作用熱瞬態響應的一半就行。
電路仿真器
描述 Cauer 模型的數學響應所需的代數非常麻煩，若沒有電路仿真器，這種模型幾乎沒有用處。因此，如果只有 Cauer 模型可用的話，那么電路仿真器是必不可少的。當然，如果有電路仿真器，電路就是電路，因此很明顯，Cauer 階梯和 Foster 階梯可以同樣容易地進行分析。事實上，對于單輸入網絡，整體方法并無區別，只是網絡連接和元素值等細節有區別。
對于多輸入網絡，Cauer 網絡非常簡單（參見圖 9）。回想一下，Cauer 網絡是在具有物理意義的某些前提下導出的，各種可能的熱源之間的相互作用會被構建到網絡本身的拓撲結構中。對于每個熱源的熱量輸入，將有電阻和電容“自動”提供正確的相互作用響應；互易和疊加是該方法的必然結果。只需將接地電容 Cauer 模型以及原理圖中明示的所有節點和互連輸入仿真器，任務就完成了。
圖 9. 在電路仿真器中實現多輸入 Cauer 網絡
多源 Foster 模型在電路仿真器中的實現更加復雜，具體如何完成將取決于可用仿真器的特性。Foster 模型不過是瞬態響應曲線的數學擬合示意圖，因此特定“自發熱”Foster 階梯中的電阻和電容不會與任何相互作用網絡中的電阻和電容相關；即使我們可能知道兩個熱源之間有許多潛在的共同熱路徑，這兩個熱源的自發熱 Foster 階梯元件之間也不會有任何相關性。此外，根據 Foster 階梯的推導方式，甚至模型中各種曲線的時間常數也可能不一致！同樣，根據 Foster 階梯的推導方式，甚至可能存在“負”幅度。顯然，如果 Foster 表示中出現負幅度，電路仿真器必須允許負電阻。或者，仿真器必須提供一種編程方法，以從一個節點的響應中減去另一個節點的響應，從而從正子電路構造負貢獻。類似地，為了在電路仿真器中實現多輸入 Foster 模型，必須小心地故意創建“求和”節點，以在整體模型的各個原本獨立的自發熱和相互作用加熱部分之間實現線性疊加原理。如果電路仿真工具不能提供足夠的功能來完成這些任務，基于電子表格的實現方案將是最佳的替代選擇。圖 10 顯示了可能的步驟。
圖 10. 在電路仿真器中實現多輸入 Foster 網絡
電子表格模型
如前所述，Cauer 模型基本上需要一個電路仿真器，甚至單輸入模型也需要。然而，對于 Foster 階梯，電子表格工具可以方便地實現單輸入和多輸入模型。這因為 Foster 模型在數學上非常簡單，電子表格可以毫不費力地引入疊加。例如，考慮一下用 Microsoft Excel 編寫單輸入 Foster 階梯的恒定功率瞬態響應的簡便性。假設將如下含義賦予電子表格中的某些單元格：
單元格 A1 是功率水平
單元格 B1:B10 是幅度
單元格 C1:C10 是時間常數（其中 C1 是 B1 幅度對應的時間常數，以此類推）
單元格 D1 是恒定功率步進開始后的時間
那么計算時間 D1 時的溫升的 Excel 公式為：
雖然沒有必要，但也可以注意到，通過使用 Excel 的名稱功能和明智地使用絕對引用與相對引用表示法，我們可以使該公式更容易記憶，并且易于復制到不同位置，以便計算許多不同時間的結果。修改前面的例子；用 Foster 型幅度和 tau 表示的單脈沖發熱曲線的數學表達式為：
（公式23）
定義名稱
功率 $A$1
幅度 $B$1:$B$10
tau $C$1:$C$10
時間 D1
現在我們可以使用更具可讀性的公式：
例如，如果該公式被輸入單元格 E1，則可以將其復制到單元格 E2 至 E100，從而產生單元格 D2 至 D100 中每個時間的時間響應。還可以利用 Excel 的表格功能，從單個公式創建一個包含許多值的表格 4。
由于引入了時變功率輸入，并且引入了多個熱源，情況顯然變得更加復雜，但對于數量相對有限的輸入和時間步進，這仍然是可管理的。方法已在前面說明（圖 3 給出了示例），但有以下調整：(1) 任何關注點處的溫度是都是全部熱源在該點引起的響應的疊加；(2) 每當任何熱源的功率輸入改變時，必須創建一個新的時間“步進”，哪怕在該時刻所討論的點的功率沒有變化。
RC 模型和短時瞬態響應
對于那些不熟悉 Excel 中“數組”公式的人來說，前面的示例用緊湊的表示法完成了一些非常強大的運算。首先，數組語法本身的使用告訴 Excel 依次對范圍中的每個單元格執行相同的計算；由于在所識別的兩個數組中每一個數組有 10 個單元格，因此產生 10 個并行計算結果。這意味著代表 10 個幅度和時間常數的 10 個不同項是一起計算。其次，公式周圍的大括號 {} 表示公式實際上是用 Ctrl-Shift-Enter 按鍵輸入電子表格的，而不是普通的 Enter 按鍵。這告訴 Excel，我們希望它返回所有可用的數組結果，無論分配給公式的單元格有多少。然而，這里不需要單獨查看所有 10 個結果，但是我們仍然希望訪問所有結果，即使只有一個單元格是公式結果的目標。因此，最后我們使用 SUM 函數來告訴 Excel 將這 10 個單獨的結果相加，而不是只報告我們為公式位置選擇的單個單元格中的第一個結果。
可以在數學上證明，當時間尺度短于其最快時間常數時，RC 模型的瞬態響應將變成與時間成比例。如果 (1) 關注的時間尺度略大于最快時間常數，或者 (2) 已知隨時間的線性響應對于所考慮的系統是合適的，這將不是問題。然而，正如隨后將討論的，對于許多半導體器件，存在一個時間范圍，在該范圍內“表面發熱”的概念非常接近真實的熱物理。在表面發熱中，器件瞬態響應與時間的平方根成正比，而不是與時間呈線性關系。現在，一個正確構建的 RC 模型能夠以極高的精度遵循這種平方根行為，但僅針對大于模型最短時間常數的時間尺度。因此，只要使用 RC 模型，就必須考慮最短時間常數是否足夠快以滿足分析的需要。對于 Foster 階梯，最快時間常數是確切知道的。對于 Cauer 階梯，可以類似方式獲得對最快時間常數的良好估計，即最接近結的 RC 對的乘積。在任何情況下，如果最短合法時間常數不小于目標最短時間尺度，尤其是在微秒到毫秒的時間尺度上，那么在解釋 RC 模型結果時應格外小心。當平方根模型合適時，如果使用線性模型，則由該模型預測的溫度變化會發生得太慢，這可能導致嚴重低估最高結溫。
考慮到這一點，下表列出了相同 D2pak 器件在兩個不同熱測試板上的 RC 模型。對于每個測試板，下表同時給出了 Cauer 網絡和 Foster 網絡。應該強調的是，這些 Foster 網絡實際上是相應 Cauer 網絡的精確數學等價物。通過下表可以明白前面討論中涉及的許多概念。
表 1. RC 網絡（“R”值單位為°C/W；“C”值單位為 J/C；“tau”單位為秒）
注意：粗體元素代表網絡中與封裝最密切相關的部分；其余元素代表環境。按時間常數的升序列出的 Foster 梯級提供了一個粗略但不完美的等價模型，因為快速響應梯級必然會對曲線的短時間（因此封裝）部分產生最顯著的貢獻。然而，正如前面所強調的，Foster 梯級內節點的確切位置沒有直接的物理意義，與 Cauer 電阻的任何表面相關性純屬巧合。
第一，這些網絡的最快時間常數是 2.98E-7 s（在 Foster Tau 列中精確給出）。此值的近似值是 Cauer 網絡中最靠近結的 RC 乘積，即 C_C1 乘以 R_R1，結果為 3.66E-7 s。第二，為方便起見，Foster 階梯的梯級按時間常數的升序列出，但很明顯，其 R 與 Cauer 網絡的“相應”梯級的 R 沒有很好的相關性。第三，從階梯的短時間末端開始，兩個測試板的模型相同。也就是說，對于單脈沖發熱響應，一開始只有封裝重要，經過一段時間后，熱量才開始從封裝傳入測試板，環境才會影響響應。
圖 11. 基本方波
使用 Foster RC 模型的周期波形
上面已經討論了方波占空比曲線，它們通常由前面的簡單公式 22 得出。然而，給定單脈沖瞬態曲線的 RC 模型（特別是幅度/時間常數 Foster 表達式），可以推導出無限列等方脈沖的精確閉合形式解。我們將簡單給出其中的幾個解，并說明如何應用它們（參見 AND8219/D）。給定 n 級 RC 模型的單脈沖發熱曲線公式，如公式 23 所示，我們得到以下結果：
占空比 d、開啟時間 a 的簡單方波列的波峰 （公式24）
簡單周期方波列的波谷 （公式25）
注意，波形的開啟時間、周期和占空比通過等式 a = p·d 相聯系。當將開啟時間繪制在 x 軸上，占空比用作曲線參數時，公式 24 產生之前在圖 5 中看到的占空比曲線族，其基于擬合原始 R(t) 單脈沖發熱曲線的 Foster RC 電阻模型。事實上，如果 RC 模型擬合良好，則從等式 24 導出的占空比曲線將比從更近似的公式 22 導出的曲線更精確（可能的例外是，如果占空比值非常小，并且開啟時間小于最小 RC 時間常數，我們可能面臨與前面討論的時間平方根相關的相同限制）。
當重復單個脈沖時（圖 11），很明顯，波峰出現在“開啟”時間的末端，波谷出現在“關閉”時間的末端（即每個“開啟”時間的開始處）。此外，當僅重復單個方脈沖時，如果只關心波峰和波谷，則脈沖在周期內的位置并不重要。事實上，為方便起見，前面的這些公式是在假設每個脈沖的“開啟”時間從每個周期的開端開始的情況下推導出來的。
然而，如果我們對這個問題稍作拓展，并允許單個方脈沖位于周期內的任意點，那么可以推導出一些更強大的公式。對于以下公式，圖 12 定義了周期長度 p 內廣義方脈沖的參數。所有時間都是相對于一個周期的開始。
圖 12. 廣義方波
經過無限次相同周期后，以下三個公式描述了所示范圍對應的溫度響應形狀：
良好（可計算）僅適用于 0 ≤ t < b （公式26）
良好（可計算）僅適用于 b ≤ t < a （公式27）
注：如果 t = 0 且 b = 0，就得到公式 25
對 0 ≤ t ≤ p 良好（可計算）僅適用于 t > a （公式28）
注：如果 t = a 且 b = 0，就得到公式 24
對于這些公式，“可計算性”限制是一個實際問題，當正自變量出現在各種分子的指數項中時就會出現。還要注意，這些公式描述了響應曲線，但尚未考慮所施加脈沖的功率水平。我們將關于脈沖功率的考慮推遲到下面的公式中，它現在表示了以相同頻率出現的任意數量方脈沖的完全一般化疊加，所有方脈沖都位于時間段 p 的相同周期內：
（公式29）
現在，假設我們將周期分解為一系列方邊脈沖——此過程已在前面的非周期波形示例中說明，那么公式 29 允許我們預測任何復雜周期性功率的“穩態”瞬態行為。“穩態”瞬態響應指的是在無限多次相同周期發生后，一個典型周期的溫度響應曲線的形狀。現在必須強調一點：在不知道曲線細節的情況下，無限重復單脈沖的“峰值”和“谷值”溫度是可以預測的（即公式 24、25），但這對于一般的周期波形是不可能的，即使該波形是幾個方形子脈沖的相對簡單的組合也不行。考慮以下示例，將圖 13 的周期性功率輸入應用于表 4 給出的 RC 模型。
表 2. 3 脈沖示例的 RC 模型
圖 13. 3-脈沖周期性輸入
三個獨立方脈沖構成重復模式，將公式 26、27 和 28 應用于各脈沖的相應部分，并應用公式 29 來計算其疊加效應，我們得到以下溫度響應：
圖 14. 3-脈沖周期示例穩態瞬態響應
讓這個例子特別有意思的是，峰值溫度出現在第二脈沖的末端，該脈沖的功率較低，甚至在它與該周期中緊接在它之前的較高功率脈沖之間有一個零功率的小間隙。由于知道單脈沖響應與功率成正比，并且峰值溫度總是出現在方脈沖的末尾，人們可能很容易忽略這里展示的可能性。換句話說，對于廣義周期波形，即使它僅由少量方形子分量構成，人們也能很好地計算整個周期范圍內的響應，而不僅僅是一些“明顯”點的響應。
表面發熱、時間平方根和短時瞬態響應
在大多數熱瞬態測試中，實驗數據最早可在 1E-5 s（10 微秒）時獲取。但在大多數情況下，由于電氣開關瞬變，測試器件的數據獲取時間是不一致的，最晚可達 1E-3 s。即使測量一致性出現在更早時間，但在 1E-4 s 之前的時間，結果也很少可靠。事實上，與預期理論行為相對應的測量信號通常要到 3E-4 s 和 1E-3 s 之間才會出現。導致這種相關性的因素主要有兩個：器件中的電瞬態效應和芯片幾何效應。
更具體而言，芯片厚度和實際有效受熱面積會影響理論行為。對于短時熱瞬態行為，最簡單的常用理論是表面發熱模型。它假設恒定功率、一維熱流，產生的結果是表面溫升與發熱時間的平方根成比例。
正因如此，它常被稱為“sqrt(t)”發熱。sqrt(t) 發熱的一個重要方面是，在對數-對數圖上（參見圖 2），這種發熱“曲線”是一條直線，時間每增加 100 倍，溫度（或熱阻）上升 10 倍（sqrt(t) 正是由此而來）。因此，在對數-對數圖上，它顯示為 1:2 的斜率。這條理論直線的垂直位置由受熱面積、芯片的材料特性以及與芯片受熱表面鄰接的材料決定。同樣根據 sqrt(t) 理論，芯片越薄，熱量越快到達硅的背面，然后便不再遵循 sqrt(t) 模型；因此，一半厚度的芯片將在四分之一的時間內結束其 sqrt(t) 行為。通常，我們認為對于 15 mil（380 微米）厚的芯片，理論行為應該持續到大約 1E-3 s，但是當厚度小到 10 mil（250 微米）時，理論行為將僅持續 4E-4 s；對于 7 mil（180 微米）厚的芯片，sqrt(t) 只能持續 2E-4 s。芯片厚度還與瞬態行為的另一“極端特性”直接相關，即達到局部穩態需要多長時間。在所有其他條件相同的情況下，15 mil 芯片達到局部穩態所需時間應該不超過 2.5E-3 s，7 mil 芯片所需時間應該不超過 5E-4 s。
另一方面，集總參數 RC 模型由于描述其行為的方程的指數性質，在接近最短時間時總是變成與時間呈線性關系。因此，如果時間小于最短時間常數，RC 模型必定無法近似模擬 sqrt(t) 行為。正如前面所討論的，如果已知 sqrt(t) 行為是實際行為的合理近似，但 RC 時間常數不是以低于該范圍的值開始，那么應將 sqrt(t) 模型直接用于短脈沖溫度估計，否則將導致溫度變化被嚴重低估。
下面的表格提供了對一維表面發熱估計有用的定義和公式，以及半導體封裝方面的一些典型材料特性值。
表 3. 一維表面發熱公式和定義
其中：
表 4. 短時熱響應的材料特性
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